Меню

Катер проплыл а плот проплыл по реке

Задачи на движение по реке

Развитием линии задач раздела 1.4 являются задачи на движение по реке, не вызывающие обычно каких-либо затруднений у пятиклассников. Опыт, полученный ими при решении задач 70–75 можно обобщить при работе с задачей 76, в которой возникают сложности только в последнем задании, где требуется определить скорость течения реки по двум скоростям — по течению и против течения реки. Для успешного усвоения этого материала следует показать, что скорости по течению и против течения — суть сумма и разность собственной скорости и скорости течения. Чтобы их найти, нужно применить освоенный ранее прием нахождения двух величин по их сумме и разности: разность скоростей по течению и против течения равна удвоенной скорости течения. Будет еще лучше, если к этому выводу учащиеся придут самостоятельно. Ведь ситуации, в которых школьники находят возможность для применения ранее полученных знаний, способствуют их развитию. Когда же отрицательные числа будут изучены, этот факт будет просто доказать:

А пока можно обойтись ссылкой на уже известное правило нахождения двух чисел по их сумме и разности или на графическую иллюстрацию:

70. о 1) Мальчик заметил, что на путь по течению реки было затрачено меньше времени, чем на тот же путь против течения. Чем это можно объяснить, если мотор лодки работал одинаково хорошо во время всей поездки?

2) На путь из пункта А в пункт В теплоход затратил 1 ч 40 мин, а на обратный путь — 2 ч. В каком направлении течет река?

3) Скорость катера по озеру (в стоячей воде) 18 км/ч. Какой путь пройдет катер за 3 ч?

4) Скорость течения реки 2 км/ч. На сколько километров река относит любой предмет (плот, лодку) за 1 ч, за 5 ч?

71. Скорость катера в стоячей воде 18 км/ч. Скорость течения реки 2 км/ч. С какой скоростью будет двигаться катер по течению реки? Против течения?

72. Скорость катера в стоячей воде (собственная скорость) 12 км/ч, а скорость течения реки 3 км/ч. Определите:

1) скорость катера по течению и против течения реки;

2) путь катера по течению реки за 3 ч;

3) путь катера против течения реки за 5 ч.

73. 1) Собственная скорость теплохода 27 км/ч, скорость течения реки 3 км/ч. Сколько времени затратит теплоход на путь по течению реки между двумя причалами, если расстояние между ними равно 120 км?

2) Сколько времени потребуется для того, чтобы проплыть на моторной лодке 90 км против течения, если ее собственная скорость 20 км/ч, а скорость течения реки 2 км/ч?

74. Катер, имеющий собственную скорость 15 км/ч, плыл 2 ч по течению реки и 3 ч против течения. Какое расстояние он проплыл за все время, если скорость течения реки 2 км/ч?

75. а) Расстояние между двумя причалами 24 км. Сколько времени потратит моторная лодка на путь от одного причала до другого и обратно, если ее собственная скорость 10 км/ч, а скорость течения 2 км/ч?

б) Расстояние между двумя причалами 36 км. Сколько времени потратит на путь от одного причала до другого и обратно катер, если его собственная скорость 15 км/ч, а скорость течения реки 3 км/ч?

76. Определите скорости и заполните таблицу:

Источник

Задачи на движение по воде (страница 2)

Верны те же формулы: \[<\large>\]
\(\blacktriangleright\) Если тело движется по реке по течению:
\(v_c\) — собственная скорость тела (скорость в неподвижной воде);
\(v_t\) — скорость течения;
тогда скорость движения тела \(v=v_c+v_t\) .
Значит, \[<\large>\]
\(\blacktriangleright\) Если тело движется по реке против течения:
\(v_c\) — собственная скорость тела (скорость в неподвижной воде);
\(v_t\) — скорость течения;
тогда скорость движения тела \(v=v_c-v_t\) .
Значит, \[<\large>\]
\(\blacktriangleright\) Заметим, что плот — это тело, у которого собственная скорость \(v_c=0\) . Значит, плот может плыть только по течению и со скоростью течения.

Теплоход с туристами плыл из города А в город В. Его скорость в неподвижной воде была 12 км/ч. В городе В он сделал остановку продолжительностью 5 часов, после чего поплыл обратно в А. Скорость течения составляла 2 км/ч. В город А теплоход вернулся через 29 часов после отплытия из него. Найдите расстояние между А и В. Ответ дайте в километрах.

Пусть \(S\) км – расстояние, которое проплыл теплоход по пути из А в В, тогда

\(\dfrac<12 + 2>\) часов – время, которое теплоход плыл по течению,

\(\dfrac<12 - 2>\) часов – время, которое теплоход плыл против течения,

плыл теплоход всего \(29 — 5 = 24\) часа, тогда:

\[\dfrac <14>+ \dfrac <10>= 24,\] откуда находим \(S = 140\) км.

Яхта проплыла по течению реки \(144\, км\) и вернулась обратно, после чего проплыла ещё \(36\, км\) по течению реки. Известно, что время, затраченное на движение яхты по течению, равно времени, затраченному на движение яхты против течения. При этом скорость яхты в неподвижной воде равна \(18\, км/ч\) . Найдите скорость течения. Ответ дайте в км/ч.

Пусть \(v_<\text<т>>\, км/ч\) – скорость течения, \(v > 0\) , тогда

\(18 + v_<\text<т>>\) – скорость перемещения яхты по течению,

\(18 — v_<\text<т>>\) – скорость перемещения яхты против течения,

\(\dfrac<180><18 + v_<\text<т>>>\) – время, затраченное яхтой на перемещение по течению,

\(\dfrac<144><18 - v_<\text<т>>>\) – время, затраченное яхтой на перемещение против течения.

Читайте также:  Реки южной америки бразилия

Так как время перемещения против течения совпадает со временем по течению, то: \[\dfrac<180><18 + v_<\text<т>>> = \dfrac<144><18 - v_<\text<т>>>\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac<180(18 - v_<\text<т>>) — 144(18 + v_<\text<т>>)><(18 + v_<\text<т>>)(18 — v_<\text<т>>)> = 0\,,\] что при \(v_<\text<т>>\neq \pm 18\) равносильно \(v_<\text<т>> = 2\) .

Моторная лодка проплыла по течению реки \(20\, км\) , после чего сломалась и в течение часа её уносило течением. Спустя час после поломки лодка развернулась и поплыла в обратную сторону с изначальной собственной скоростью, равной \(13\, км/ч\) . Известно, что обратный путь занял \(2 ч\) . Найдите скорость течения. Ответ дайте в км/ч.

Пусть скорость течения реки равна \(v_<\text<т>>\) , тогда путь лодки по течению составил \(20 + 1\cdot v_<\text<т>> = 20 + v_<\text<т>>\, км\) .

Так как обратный путь занял \(2\, ч\) , то \[20 + v_<\text<т>> = 2\cdot (13 — v_<\text<т>>)\qquad\Leftrightarrow\qquad v_<\text<т>> = 2\, км/ч.\]

Лодка участвует в соревнованиях. Ей необходимо доплыть по реке из пункта \(А\) в пункт \(Б\) и обратно. Известно, что течение реки направлено от пункта \(А\) к пункту \(Б\) . Лодка проплыла от пункта \(А\) до пункта \(Б\) за час. Сколько километров останется проплыть лодке через час после отплытия из пункта \(Б\) в пункт \(А\) , если скорость течения реки равна \(2,5\, км/ч\) ?

Пусть собственная скорость лодки равна \(v_<\text<л>>\, км/ч\) , а скорость течения равна \(v_<\text<т>>\, км/ч\) . За первый час лодка проплыла \(v_<\text<л>> + v_<\text<т>>\) , а за второй час (на обратном пути) \(v_<\text<л>> — v_<\text<т>>\) в другую сторону, то есть её перемещение за первые два часа составило \[|(v_<\text<л>> + v_<\text<т>>) — (v_<\text<л>> — v_<\text<т>>)| = 2v_<\text<т>>\] – в сторону течения, то есть через два часа после отплытия, лодке оставалось \(2\cdot 2,5 = 5\, км\) до финиша.

Города M и N находятся возле реки на расстоянии 60 км. Из M в N отправился катер, который прибыл в город N и сразу повернул назад. К тому времени, как катер вернулся в М, плот, который отправился из M в N на час раньше катера, проплыл 13 км. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Найдите скорость катера в неподвижной воде. Ответ дайте в км/ч.

Плот проплыл 13 км за \(13 : 2 = 6,5\) часов. Тогда дорога из M в N и обратно заняла у катера \(6,5 — 1 = 5,5\) часов.

Пусть \(v\) км/ч – скорость катера в стоячей воде, \(v > 0\) , тогда

\(\dfrac<60>\) часов – время, затраченное катером на дорогу из M в N, так как течение направлено из M в N (плот плывёт по течению),

\(\dfrac<60>\) часов – время, затраченное катером на дорогу из N в M.

Так как суммарное время, затраченное катером на дорогу из M в N и обратно, равно 5,5 часов, то: \[\dfrac<60> + \dfrac<60> = 5,5\qquad\Leftrightarrow\qquad 11v^2 — 240v — 44 = 0\] – при \(v \neq \pm 2\) , откуда находим \(v_1 = 22,\ v_2 = -\dfrac<2><11>\) . Так как \(v > 0\) , то ответ \(22\) км/ч.

У Игоря есть своя яхта. Плавая на яхте, он понял, что обронил шляпу и стал её искать. При этом он проплыл час против течения, затем развернулся и проплыл час по течению, затем снова развернулся и проплыл полчаса против течения, затем три четверти часа по течению, после чего проплыл ещё четверть часа против течения. Оказалось, что он сместился от места начала поисков на \(10,5\, км\) . Найдите скорость течения, если собственная скорость яхты во время поисков оставалась постоянной. Ответ дайте в км/ч.

Пусть собственная скорость яхты равна \(v_<\text<я>>\, км/ч\) , а скорость течения равна \(v_<\text<т>>\, км/ч\) . За первый час Игорь проплыл \(v_<\text<я>> — v_<\text<т>>\) , а за второй час \(v_<\text<я>> + v_<\text<т>>\) в другую сторону, то есть его перемещение за первые два часа составило \[|(v_<\text<я>> — v_<\text<т>>) — (v_<\text<я>> + v_<\text<т>>)| = 2v_<\text<т>>\] – в сторону течения.

Далее Игорь плыл полчаса против течения, затем три четверти часа по течению. Разобьём эти три четверти часа по течению на два этапа: полчаса по течению и четверть часа по течению, тогда по аналогии с предыдущим рассуждением, перемещение Игоря за третий час составило \[|0,5(v_<\text<я>> — v_<\text<т>>) — 0,5(v_<\text<я>> + v_<\text<т>>)| = v_<\text<т>>\] – в сторону течения.

За последние полчаса перемещение Игоря по аналогии составило \[|0,25(v_<\text<я>> + v_<\text<т>>) — 0,25(v_<\text<я>> — v_<\text<т>>)| = 0,5v_<\text<т>>\] – в сторону течения.

В итоге за \(3,5\, ч\) поисков Игорь переместился на \(3,5v_<\text<т>>\) от места начала поисков, что по условию составило \(10,5\, км\) , тогда \[3,5v_<\text<т>> = 10,5\qquad\Leftrightarrow\qquad v_<\text<т>> = 3\,.\]

Источник



Решение задач при помощи неравенств

Задачи на составление уравнений и неравенств занимают важное место в школьном курсе математики. Решение их способствует развитию логического мышления, сообразительности и наблюдательности, развивает умение самостоятельно осуществлять небольшие исследования. Задачи, связанные с неравенствами, бывают двух видов:

  • задачи на сравнение двух выражений;
  • задачи, которые решаются с помощью неравенств, систем неравенств, систем неравенств и уравнений.

Эти задачи необходимо начинать решать уже в восьмом классе. Предлагаемые примеры задач собраны из разных источников и предназначены для школьников и педагогов, любящих решать задачи вообще, и для использования на уроках и факультативных занятиях.

Задачи с решением

Самолет пролетел путь от А до В по ветру и путь от В до А против ветра, причем скорость ветра не менялась. В другой раз самолет совершил рейс по тому же маршруту в безветренную погоду. В обоих случаях моторы самолета развивали одинаковую мощность. В каком случае на весь полет ушло меньше времени?

Решение.

Ответ. В безветренную погоду.

Два туриста вышли из пункта А в пункт В. Первый турист половину затраченного времени от начала движения шел со скоростью V 1, затем со скоростью V 2. Второй же турист первую половину пути шел со скоростью V 1, а вторую половину со скоростью V 2. Кто из них затратил меньше времени на прохождение пути от А до В?

Решение.

Ответ. Первый турист затратил времени меньше.

Туристы отправились на моторной лодке по течению реки и должны вернуться обратно к стоянке не позднее чем через 3 часа. На какое расстояние могут отъехать туристы, если скорость течения реки 2 км/ч, а скорость в стоячей воде 18 км/ч?

Решение.

Ответ. Не больше чем на 26 и две третьих км.

На соревнованиях каждый стрелок делал 10 выстрелов. За каждое попадание он получал 5 очков, за каждый промах с него снимали одно очко. Успешным считалось выступление, при котором стрелок получал не менее 30 очков. Сколько раз стрелок должен попасть в мишень, чтобы его выступление было сочтено успешным?

Решение.

Ответ. 7, 8, 9 или 10 раз.

Со склада вывозят железные болванки массой по 500 кг и медные массой 200 кг. На грузовик, который может везти не более 4 тонн, погрузили 12 болванок. Сколько среди них может быть железных болванок?

Решение.

Ответ. Не более 5 болванок.

Турист на байдарке проплыл по течению реки 6 км, тут же повернул обратно и проплыл против течения реки 4 км. С какой собственной скоростью должен плыть турист, чтобы на все путешествие затратить не более часа, если скорость реки равна 2 км/ч?

Решение.

Ответ. Не менее 10 км/ч

Около дома посажены липы и березы, причем общее их количество более 14. если увеличить вдвое количество лип, а количество берез на 18, то берез станет больше. Если увеличить вдвое количество берез, не меняя количество лип, то лип все равно будет больше. Сколько лип и сколько берез было посажено?

Решение.

Ответ. 11 лип, 5 берез.

Группа студентов решила купить цветок ценой от 170 до 195 рублей. Однако в последний момент двое отказались участвовать в покупке, поэтому каждому из оставшихся пришлось внести на 1 руб. больше. Сколько стоил цветок?

Решение.

Ответ. 180 рублей.

Лодка спускается по течению реки на расстояние 10 км, а затем поднимается против течения на расстояние 6 км. Скорость течения реки равна 1 км/ч. В каких пределах должна быть собственная скорость лодки, чтобы вся поездка заняла от 3 до 4 часов.

Решение.

Ответ:

Школьник переклеивает все свои марки в новый альбом. Если он наклеит по 20 марок на один лист, то ему не хватит альбома, а если по 23 марки на лист, то по крайней мере один лист окажется пустым. Если школьнику подарить такой же альбом, на каждом листе которого наклеено по 21 марке, то всего у него станет 500 марок. Сколько листов в альбоме?

Решение.

Ответ. 12 листов.

Пункты А и В расположены на одной реке так, что плот, плывущий из А в В со скоростью течения реки, проходит от А до В за 24 часа. Весь путь от А до В и обратно катер проходит не менее чем за 10 часов. Если бы собственная скорость катера увеличилась на 40%, то тот же путь (от А до В и обратно) занял бы у катера не более 7 часов. Найдите время, за которое катер проходит путь от В в А, когда его собственная скорость не увеличена.

Решение.

Ответ: 6 часов.

Задачи для самостоятельного решения с ответами

Расстояние между станциями А и В равно 360 км. В одно и то же время из А и В навстречу друг другу выходят два поезда. Поезд, отправившийся из А, прибывает на станцию В не ранее чем через 5 часов. Если бы его скорость была в 1,5 раза больше, чем на самом деле, то он встретил бы второй поезд раньше, чем через два часа после своего выхода из А. Скорость какого поезда больше?

Ответ. Скорость поезда, вышедшего из В, больше.

Из пункта А в пункт С в 9 часов утра отправился скорый поезд. В это же время из пункта В, расположенного между пунктами А и С, выходят два пассажирских поезда, первый из которых следует в пункт А, а второй – в пункт С. Причем, скорости пассажирских поездов равны. Скорый поезд встречает первый пассажирский поезд не позже чем через 3 часа после его отправления, потом приходит в пункт В не ранее 14 часов того же дня и, наконец, прибывает в пункт С одновременно с первым пассажирским поездом. Найти время прибытия в пункт А первого пассажирского поезда.

Ответ. 16 ч 30 мин.

Из А в В по течению реки плывет плот. Одновременно с тем, когда плот начал путь из А в В, из В в А навстречу ему поплыла лодка, которая встречает плот не ранее чем через 2 ч и затем прибывает в А, затратив на весь путь менее 3 ч 20 мин. Успеет ли плот преодолеть путь из А в В за 5 ч, если расстояние между А и В равно 20 км?

Ответ. Не успеет.

Квартал застроен пятиэтажными и девятиэтажными домами, причем девятиэтажных домов меньше, чем пятиэтажных. Если число девятиэтажных домов увеличить вдвое, то общее число домов станет более 24, а если увеличить вдвое число пятиэтажных домов, то общее число домов станет менее 27. сколько построено пятиэтажных домов и сколько девятиэтажных?

Ответ. 9 пятиэтажных и 8 девятиэтажных.

Пункты А и В расположены на одной реке так, что плот, плывущий из А в В со скоростью течения реки, проходит путь от А до В за 24 часа. Весь путь от А до В и обратно моторная лодка проходит не менее чем за 10 ч. если бы собственная скорость моторной лодки увеличилась на 40% , то тот же путь (т.е. путь от А до В и обратно) занял бы у лодки не более 7 ч. Найти время, за которое моторная лодка проходит путь от А до В в случае, когда ее собственная скорость не увеличена.

В 9 ч утра из пункта А выезжает велосипедист, который едет до пункта В. Через 2 ч после выезда велосипедиста из А в В выезжает автомобилист, который догоняет велосипедиста не позже 12 ч дня. Продолжая движение, автомобилист прибывает в пункт В, мгновенно поворачивает и едет из В в А. На этом пути автомобилист встречает велосипедиста и потом прибывает в пункт А в 17 ч того же дня. Найти время прибытия велосипедиста в пункт В , если известно, что между двумя встречами велосипедиста и автомобилиста прошло не более 3 ч.

Ответ. 18 ч.

От пристани А вниз по реке, скорость течения которой равна V км/ч, отходит плот. Через час вслед за ним выходит катер, скорость которого в стоячей воде равна 10 км/ч. догнав плот, катер возвращается обратно. Определить все те значения V ,при которых к моменту возвращения катера в А плот проходит более 15 км.

Ответ. 5 Реклама

Расстояние между А и В равно7 км. Два пешехода одновременно вышли навстречу друг другу и встретились раньше чем через 1 час, если бы первый шел вдвое быстрее, чем он шел на самом деле, а скорость движения второго была бы на 2 км/ч больше его фактической скорости, то к моменту встречи второй прошел бы большую часть пути. Скорость какого пешехода больше?

Ответ. Скорость второго пешехода больше.

Из пунктов А и В, расстояние между которыми 120 км, одновременно друг другу навстречу выезжают два велосипедиста и встречаются позже, чем через 5 ч после выезда. На следующий день они выезжают навстречу одновременно в одну и ту же сторону из пунктов С и D, расстояние между которыми 36 км, причем велосипедист, едущий впереди, движется со скоростью, на 6 км/ч больше, чем накануне, а велосипедист, едущий сзади, движется с той же скоростью, что и накануне. Хватит ли второму велосипедисту двух часов, чтобы догнать первого?

Ответ. Не хватит.

Из города А в город В, находящийся на расстоянии 105 км от А, с постоянной скоростью V км/ч выходит автобус. Через 30 мин вслед за ним из А со скоростью 40 км/ч выезжает автомобиль, который, догнав в пути автобус, поворачивает обратно и движется с прежней скоростью. Определить все те значения V, при которых автомобиль возвращается в город А позже, чем автобус приходит в город В.

Ответ. 30 Реклама

Источник

Текстовые задачи на движение по воде.

Задача 1. Баржа прошла по течению реки 40 км и, повернув обратно, прошла ещё 30 км, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Читайте также:  Елисей где находится река

км/ч — собственная скорость баржи. Ограничение:

— скорость баржи по течению,

— скорость баржи против течения. Заполним таблицу.

ч — время движения баржи по течению реки.

ч — время движения баржи против течения реки.

На весь путь баржа затратила 5 часов. Составим и решим уравнение.

Моторная лодка прошла против течения реки 208 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 5 часов меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

км/ч — собственная скорость моторной лодки. Ограничение:

— скорость моторной лодки по течению,

— скорость моторной лодки против течения.

ч — время, затраченное на обратный путь. Заполним таблицу.

Составим и решим уравнение.

Задача 3. Расстояние между пристанями А и В равно 140 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 51 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

км/ч — собственная скорость моторной лодки. Ограничение:

Источник

Adblock
detector